Question

已知函數(shù)，記f^-1（x）為f（x）的反函數(shù)，若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=-f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，問：是否存在常數(shù)k，使得對任意的正整數(shù)n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．若存在，求出常數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)y=，得，根據(jù)題意和反函數(shù)定義可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，由此能夠求出，n∈N^*．
（2）由，知==，b₁+b₂+…+b_n=．對任意的正整數(shù)n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，所以對任意的正整數(shù)n都有≤k•n成立．整理，得：對任意的正整數(shù)n都有16nk²+8k-4≥0成立，由此能求出k的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)y=，
∴y²=x²-4，y＞0，
，x，y互換，得，
根據(jù)題意和反函數(shù)定義可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，
∴a_n²=1+4（n-1）=4n-3，n∈N^*，
∴，n∈N^*．
（2）∵，n∈N^*，
∴==，
∴b₁+b₂+…+b_n=）]
=．
∵對任意的正整數(shù)n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，
∴對任意的正整數(shù)n都有≤k•n成立．
整理，得：對任意的正整數(shù)n都有16nk²+8k-4≥0成立，
∵對任意的正整數(shù)n都有16nk²≥0，
∴8k-4≥0，k時(shí)，對任意的正整數(shù)n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．
故存在常數(shù)k，k的取值范圍[+∞）．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．