已知函數(shù),記f-1(x)為f(x)的反函數(shù),若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=-f-1(an)(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設,問:是否存在常數(shù)k,使得對任意的正整數(shù)n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立.若存在,求出常數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由函數(shù)y=,得,根據(jù)題意和反函數(shù)定義可得:an2-an-12=4,a1=1,由此能夠求出,n∈N*
(2)由,知==,b1+b2+…+bn=.對任意的正整數(shù)n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立,所以對任意的正整數(shù)n都有≤k•n成立.整理,得:對任意的正整數(shù)n都有16nk2+8k-4≥0成立,由此能求出k的取值范圍.
解答:解:(1)∵函數(shù)y=,
∴y2=x2-4,y>0,
,x,y互換,得
根據(jù)題意和反函數(shù)定義可得:an2-an-12=4,a1=1,
∴an2=1+4(n-1)=4n-3,n∈N*,
,n∈N*
(2)∵,n∈N*,
==,
∴b1+b2+…+bn=)]
=
∵對任意的正整數(shù)n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立,
∴對任意的正整數(shù)n都有≤k•n成立.
整理,得:對任意的正整數(shù)n都有16nk2+8k-4≥0成立,
∵對任意的正整數(shù)n都有16nk2≥0,
∴8k-4≥0,k時,對任意的正整數(shù)n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立.
故存在常數(shù)k,k的取值范圍[+∞).
點評:本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,解題時要認真審題,仔細解答,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)數(shù)學公式,方程f(x)=-2x+7有兩個根x1,x2,且x1<1<x2<3.
(1)求自然數(shù)a的值及f(x)的解析式;
(2)記等差數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且數(shù)學公式,設數(shù)學公式,求g(n)的解析式及g(n)的最大值;
(3)在(2)小題的條件下,若a1=10,寫出數(shù)列{an}和{bn}的通項,并探究在數(shù)列{an}和{bn}中是否存在相等的項?若有,求這些相等項從小到大排列所成數(shù)列{cn}的通項公式;若沒有,請說明理由.

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已知函數(shù),且f'(-1)=0
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(Ⅱ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)令a=-1,設函數(shù)f(x)在x1,x2(x1<x2)處取得極值,記點M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),證明:線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點.

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(Ⅱ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)令a=-1,設函數(shù)f(x)在x1,x2(x1<x2)處取得極值,記點M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),證明:線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點.

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