Question

函數(shù)f（x）=ax²+3ax+1，若f（x）＞f′（x）對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   a＜
2. B.
   a≥0
3. C.
   0＜a＜
4. D.
   0≤a＜

Answer 1

D
分析：本題先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用f（x）＞f′（x）化簡得到含參數(shù)a的二次不等式ax²+ax+1-3a＞0對(duì)一切x∈R恒成立，構(gòu)造函數(shù)得到形式上的二次函數(shù)g（x）=ax²+ax+1-3a后，對(duì)于g（x）＞0恒成立問題，要注意對(duì)參數(shù)a分類討論，容易地得出解答．
解答：因?yàn)閒′（x）=2ax+3a，所以由f（x）＞f′（x）得ax²+3ax+1＞2ax+3a，即有：ax²+ax+1-3a＞0對(duì)一切x∈R恒成立，
設(shè)g（x）=ax²+ax+1-3a，
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1＞0恒成立，
②當(dāng)a≠0時(shí)，若使g（x）=ax²+ax+1-3a＞0恒成立，由g（x）=的對(duì)稱軸x=，則有：
，即，得，
綜合①②得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：
故應(yīng)選：D
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，含參不等式的恒成立問題的求解，綜合考查了利用函數(shù)的倒數(shù)來解決問題的能力，分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用；對(duì)運(yùn)算能力，思維能力亦有所要求．