Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C₂的方程為ρ=4sinθ，
（1）求曲線(xiàn)C₁與C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）曲線(xiàn)C₁與C₂交于M，N兩點(diǎn)，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）C₁的參數(shù)方程，C₂的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．即可．
（2）利用圓心到直線(xiàn)x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距離為d，半徑以及半弦長(zhǎng)滿(mǎn)足勾股定理求解即可．

解答 解：（1）由題意得，C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0，C₂的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4y，
即x²+（y-2）²=2²，…（5分）
（2）圓心（0，2）到直線(xiàn)x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距離為d=$\frac{||0+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
所以|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的參數(shù)方程，圓的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．