Question

已知雙曲線的離心率e=2，F(xiàn)₁、F₂為兩焦點，M為雙曲線上一點，若∠F₁MF₂=60°，且．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

解：如圖，當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)方程為：
∵
由∠F₁MF₂=60°
?|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cos60°
?16a²=（|MF₁|-|MF₂|）²+|MF₁|•|MF₂|
?16a²=4a²+|MF₁|•|MF₂|
?|MF₁|•|MF₂|=12a²
且，
∴|MF₁|•|MF₂|sin60°=12，
∴×12a²×=12，?a=2，
∴b=a=2．
此時雙曲線方程為．
當(dāng)焦點在y軸上時，方程為：．
分析：當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)方程為：（a＞0，b＞0）根據(jù)其離心率為2，知a，b，c的關(guān)系式．再由∠F₁MF₂=60°，且△MF₁F₂的面積為12．即可求得a值．由此能導(dǎo)出雙曲線的方程．
點評：本小題主要考查雙曲線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．