Question

14．已知P₁，P₂，…，P_n是曲線C：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上一系列點(diǎn)，且滿足以下條件，過(guò)P₁作直線l：y=1的垂線．垂足為A₁，作線段P₁A₁的中垂線交曲線C于P₂，再過(guò)P₂作直線l的垂線，垂足為A₂，作線段P₂A₂的中垂線交曲線C于P₃，依此類推，設(shè)P_n（a_n，$\frac{1}{{a}_{n}}$），n=1，2，3…，且a₁=$\frac{2}{3}$．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：a_n≥-（1+$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{x}$）x²+x對(duì)任意x∈R恒成立；
（3）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），兩邊減1，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）原不等式等價(jià)為（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）x²-2x+$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$≥0，求出判別式整理，即可得證；
（3）S_n＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$等價(jià)為n-$\frac{{n}^{2}}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$＞$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{4+1}$+$\frac{1}{8+1}$+$\frac{1}{16+1}$+$\frac{1}{32+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，討論n=1，2，3，4，不等式成立，當(dāng)n≥5時(shí)，$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和即可得證．

解答 解：（1）由題意可得P₁（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$），A₁（$\frac{2}{3}$，1），P₂（$\frac{4}{5}$，$\frac{5}{4}$），A₂（$\frac{4}{5}$，1），P₃（$\frac{8}{9}$，$\frac{9}{8}$），
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），即為$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-1），
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=（$\frac{1}{{a}_{1}}$-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$；
（2）證明：a_n≥-（1+$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{x}$）x²+x即為$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$≥-（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）x²+2x，
即（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）x²-2x+$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$≥0，
由△=4-4（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）•$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$=0，
可得上式對(duì)x∈R恒成立．
（3）證明：a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
S_n＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$等價(jià)為n-$\frac{{n}^{2}}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$＞$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{4+1}$+$\frac{1}{8+1}$+$\frac{1}{16+1}$+$\frac{1}{32+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
當(dāng)n=1時(shí)，有$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{3}$；n=2時(shí)，$\frac{2}{3}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$；n=3時(shí)，$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$；
n=4時(shí)，$\frac{4}{5}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{17}$，由2ⁿ+1=（1+1）ⁿ+1=1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$+…+$\frac{n（n-1）}{2}$+n+1+1＞n²+n，n≥5．
可得當(dāng)n≥5時(shí)，$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{4+1}$+$\frac{1}{8+1}$+$\frac{1}{16+1}$+$\frac{1}{32+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5×6}$+$\frac{1}{6×7}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
綜上可得，S_n＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用判別式，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．