Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，g（x）=

lnx

x

，a∈R
（1）當(dāng)a=g′（1）時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）當(dāng)x∈[0，e]時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先函數(shù)g（x）導(dǎo)數(shù)，再代入求出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間．
（2）分類討論，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵g（x）=

lnx

x

，
∴g′（x）=

1-lnx

x2

，
∴a=g′（1）=1，
∴f（x）=x-lnx，x＞0，
∴f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞1，函數(shù)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜1，函數(shù)遞減，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，
①當(dāng)a≤0時(shí)，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去）；
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，∴a=e²，滿足條件；
③當(dāng)時(shí)

1

a

≥e，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=

4

e

（舍去），
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a=e²，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問題，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．