Question

1．若數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=5（$\frac{2}{5}$）^2n-2-4（$\frac{2}{5}$）^n-1（n∈N^*），{a_n}的最大項為第p項，最小項為第q項，則q-p等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設$（\frac{2}{5}）^{n-1}$=t∈（0，1]，a_n=5（$\frac{2}{5}$）^2n-2-4（$\frac{2}{5}$）^n-1（n∈N^*），可得a_n=5t²-4t=$5（t-\frac{2}{5}）^{2}$-$\frac{4}{5}$∈$[-\frac{4}{5}，1]$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設$（\frac{2}{5}）^{n-1}$=t∈（0，1]，a_n=5（$\frac{2}{5}$）^2n-2-4（$\frac{2}{5}$）^n-1（n∈N^*），
∴a_n=5t²-4t=$5（t-\frac{2}{5}）^{2}$-$\frac{4}{5}$，
∴a_n∈$[-\frac{4}{5}，1]$，
當且僅當n=1時，t=1，此時a_n取得最大值；同理n=2時，a_n取得最小值．
∴q-p=2-1=1，
故選：A．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．