Question

已知函數(shù)f（x）=

a-lnx

x

（a∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=-1的圖象在區(qū)間（0，e]上有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)圖象的作法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到本題結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論，進行分類討論，由根據(jù)存在性定理，得到相應(yīng)關(guān)系式，解不等式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

a-lnx

x

（a∈R），
∴f′(x)=

- 1 x ×x-(a-lnx)

x2

=

lnx-1-a

x2

．
∴當(dāng)0＜x＜e^a+1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e^a+1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞e^a+1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（e^a+1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=e^a+1時，f′（x）=0，函數(shù)f（x）有極值，f（e^a+1）=

a-(a+1)

ea+1

=-e^-a-1．
（2）由（1）知：當(dāng)x=e^a+1時，函數(shù)f（x）有極小值，f（e^a+1）=-e^-a-1＜0．
記h（x）=f（x）-g（x）=f（x）+1，
當(dāng)e^a+1＜e，即a+1＜1，a＜0時，
-e^-a-1+1＜0，
∴a＜-1．
當(dāng)e^a+1≥e，即a+1≥1，a≥0時，
h（e）≤0，
∴

a-e

e

≤0，
∴0≤a≤1，
綜上，a＜-1或0≤a≤1．

點評：本題考查了導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的計算量，難度適中，屬于中檔題．