【題目】在四棱錐P–ABCD中,ABCD是矩形,PA=AB,E為PB的中點.
(1)若過C,D,E的平面交PA于點F,求證:F為PA的中點;
(2)若平面PAB⊥平面PBC,求證:BC⊥PA.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)推導出,從而平面PAB,進而CD∥EF,AB∥EF,再由E為PB的中點,能證明F為PA的中點;(2)推導出AE⊥PB,從而AE⊥平面PBC,AE⊥BC,由ABCD是矩形,得AB⊥BC,從而BC⊥平面PAB,由此能證明BC⊥PA.
(1)因為ABCD是矩形,
所以,CD∥AB,又AB平面PAB,CD平面PAB,
所以CD∥平面PAB,
又CD平面CDEF,平面CDEF∩平面PAB=EF,
所以CD∥EF,
所以AB∥EF,又在△PAB中,E為PB的中點,
所以F為PA的中點.
(2)因為PA=AB,E為PB的中點,所以AE⊥PB,
AE平面PAB又平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,
所以AE⊥平面PBC,
BC平面PBC,所以AE⊥BC,又ABCD是矩形,
所以AB⊥BC,AE∩AB=A,AB,AE平面PAB,
所以,BC⊥平面PAB,
PA平面PAB,所以BC⊥PA.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電視廠家準備在五一舉行促銷活動,現(xiàn)在根據(jù)近七年的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費支出.廣告費支出x(萬元)和銷售量y(萬臺)的數(shù)據(jù)如下:
(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關系,求出y關于x的線性回歸方程(其中;參考方程:回歸直線,)
(2)若用模型擬合y與x的關系,可得回歸方程,經(jīng)計算線性回歸模型和該模型的分別約為0.75和0.88,請用說明選擇哪個回歸模型更好;
(3)已知利潤z與x,y的關系為z=200y﹣x.根據(jù)(2)的結果回答:當廣告費x=20時,銷售量及利潤的預報值是多少?(精確到0.01)參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過拋物線:的焦點做直線交拋物線于,兩點,的最小值為2.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)過,分別做拋物線的切線,兩切線交于點,且直線,分別與軸交于點,,記和的面積分別為和,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A,B,C三點滿足。
(1)求證:A,B,C三點共線;
(2)若A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x∈[0, ],函數(shù)f(x)=(2m+)||+m2的最小值為5,求實數(shù)m的值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著社會的發(fā)展,終身學習成為必要,工人知識要更新,學習培訓必不可少,現(xiàn)某工廠有工人1000名,其中250名工人參加短期培訓(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(稱為類工人),從該工廠的工人中共抽查了100名工人,調查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(左圖),類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(右圖).
(1)問類、類工人各抽查了多少工人,并求出直方圖中的;
(2)求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內為能力優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下,認為生產(chǎn)能力與培訓時間長短有關.能力與培訓時間列聯(lián)表
短期培訓 | 長期培訓 | 合計 | |
能力優(yōu)秀 | |||
能力不優(yōu)秀 | |||
合計 |
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩種棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位: ) 組成一個樣本,且將纖維長度超過315的棉花定為一級棉花.設計了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)以上莖葉圖,對甲、乙兩種棉花的纖維長度作比較,寫出兩個統(tǒng)計結論(不必計算);
(2)從樣本中隨機抽取甲、乙兩種棉花各2根,求其中恰有3根一級棉花的概率;
(3)用樣本估計總體,將樣本頻率視為概率,現(xiàn)從甲、乙兩種棉花中各隨機抽取1根,求其中一級棉花根數(shù)X的分布列及數(shù)學期望
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