Question

已知直線l：y=kx+2（k為常數(shù)）過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點B和左焦點F，直線l被圓O：x²+y²=4截得的弦AB的中點為M．
（1）若|AB|=

4 5

5

，求實數(shù)k的值；
（2）頂點為O，對稱軸為y軸的拋物線E過線段BF的中點T且與橢圓C在第一象限的交點為S，拋物線E在點S處的切線m被圓O截得的弦PQ的中點為N，問：是否存在實數(shù)k，使得O、M、N三點共線？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

2

k2+1

=

4 5

5

，再由k=k_FB＞0，能求出k=

1

2

．
（2）由已知條件推導(dǎo)出T （-

1

k

，1）．設(shè)拋物線E的方程為y=tx²（t＞0），推導(dǎo)出拋物線E的方程為y=k²x²，假設(shè)O、M、N三點共線，得到k2=-

59

63

，假設(shè)不成立，由此求出不存在實數(shù)k，使得O、M、N三點共線．

解答： 解：（1）圓O的圓心為O（0，0），半徑為r=2
∵OM⊥AB，|AB|=

4 5

5

，∴|OM|=

r2-( |AB| 2 )2

=

4 5

5

，…（2分）
∴

2

k2+1

=

4 5

5

，∴k2=

1

4

，
又k=k_FB＞0，∴k=

1

2

．…（5分）
（2）∵F（-

2

k

，0），B（0，2），T為BF中點
∴T （-

1

k

，1）．
設(shè)拋物線E的方程為y=tx²（t＞0），
∵拋物線E過T，∴1=t•

1

k2

，∴t=k²，
∴拋物線E的方程為y=k²x²，…（7分）
∴y'=2k²x，設(shè)S（x₀，y₀），則km=y ′|x=x0=2k2x0，…（8分）
假設(shè)O、M、N三點共線，
∵OM⊥l，ON⊥m，∴l(xiāng)∥m，…（9分）
又k_l=k＞0，∴k_l=k_m，∴k=2k²x₀，
∴x0=

1

2k

，y0=k2

x

2 0

=k2•

1

4k2

=

1

4

，…（10分）
∵S在橢圓C上，∴

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，
結(jié)合 b=2，c=

2

k

，a2=b2+c2=4+

4

k2

，
得

1 4k2

4+ 4 k2

+

1 16

4

=1，∴k2=-

59

63

，∴k無實數(shù)解，矛盾，
∴假設(shè)不成立，
故不存在實數(shù)k，使得O、M、N三點共線．…（13分）

點評：本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．