Question

（1）已知a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=9，ax+by+cz≤t，求t 的最小值．
（2）求直線

x=2+t y= 3 t

（t為參數(shù)）被雙曲線x²-y²=1截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）利用題中條件構(gòu)造柯西不等式（ax+by+cz）²≤（ a²+b²+c²）（ x²+y²+z²）這個(gè)條件進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）將直線的參數(shù)方程變形后代入x²-y²=1，得關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義即可求出被雙曲線x²-y²=1截得的弦長．

解答：解：（1）柯西不等式得：u²=（ax+by+cz）²≤（ a²+b²+c²）（ x²+y²+z²）=1×9=9．u=ax+by+cz≤3，
故u=ax+by+cz的最大值為3，從而t的最小值為3  …（7分）
（2）

x=2+ 1 2 (2t)=2+ 1 2 t′ y= 3 2 (2t)= 3 2 t′

（t′=2t為參數(shù)），
代入x²-y²=1，得：(2+

1

2

t′)2-(

3

2

t′)2=1，
整理得：t'²-4t′-6=0，設(shè)其二根為 t₁'，t₂'，則 t₁'+t₂'=4，t₁'•t₂'=-6，從而弦長為
|AB|=|t₁'-t₂'|=

(t1′+t2′)2-4t1′t2′

=

42-4(-6)

=2

10

…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用、直線的參數(shù)方程、直線與圓錐曲線的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．