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2.已知F1,F(xiàn)2是離心率為12的橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),橢圓C與拋物線y2=4x在第一象限的交點(diǎn)為P,F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),|PF|=53
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),求F2MF2N的取值范圍.

分析 (I)求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程,運(yùn)用拋物線的定義可得P的坐標(biāo),將P的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合離心率公式,解得a,b,c,進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為x=my-1,代入橢圓方程,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),運(yùn)用韋達(dá)定理,以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡(jiǎn)整理,再由函數(shù)的最值求法,即可得到所求所求范圍.

解答 解:(Ⅰ)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,
由拋物線的定義可得|PF|=xP+1=53,解得xP=23,
可得P(23263),
代入橢圓方程可得49a2+832=1,
又e=ca=12,a2-b2=c2
解得a=2,b=3,c=1,
可得橢圓的方程為x24+y23=1;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為x=my-1,代入橢圓方程3x2+4y2=12,
可得(3+4m2)y2-8my-8=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
判別式為64m2+32(3+4m2)>0恒成立,
y1+y2=8m3+4m2,y1y2=-83+4m2,
即有F2MF2N=(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(1+m2)y1y2-2m(y1+y2)+4
=(1+m2)(-83+4m2)-2m(8m3+4m2)+4=-2+103+4m2,
當(dāng)m=0時(shí),取得最大值43;即有F2MF2N的范圍為(-2,43].

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程,注意運(yùn)用拋物線的定義以及點(diǎn)滿足橢圓方程,考查向量的數(shù)量積的范圍,注意設(shè)出直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,以及不等式的性質(zhì),屬于中檔題.

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