Question

如圖，已知點(diǎn)H（-3，0），動點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸上，其橫坐標(biāo)不小于零，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足，．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）過定點(diǎn)F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：，并將（2）中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)F（1，0），求與（2）相類似的問題的解．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用題意向量的關(guān)系，求得x和y的關(guān)系，進(jìn)而求得M的軌跡C．
（2）將直線l與l'的方程與軌跡C的方程聯(lián)立，分別求弦長，從而表達(dá)出四邊形ADBE面積S，再利用基本不等式求最小值；
（3）將直線l與l'的方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別求弦長，從而表達(dá)出四邊形ADBE面積S，再利用基本不等式求最小值；
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知，，，由題設(shè)，得其中a≥0，從而，，且x≥0，
又由已知，得HP⊥PM，
當(dāng)b≠0時(shí)，y≠0，此時(shí)，得，
又k_PM=k_PQ，故，，
即，y²=4x（x≠0），
當(dāng)b=0時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)，HP為x軸，PM為y軸，點(diǎn)Q也為原點(diǎn)，從而點(diǎn)M也為原點(diǎn)，因此點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x，它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線；                                    （4分）
（2）由題設(shè)，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），直線l'的方程為，（k≠0），又設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由，消去x，整理得ky²-4y-4k=0，
故，同理|DE|=4（1+k²），（7分）
則，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號成立，因此四邊形ADBE面積S的最小值為32．
（9分）
（3）當(dāng)k≠0時(shí)可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
故，，（13分），
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)等號成立．（17分）
當(dāng)k=0時(shí)，易知，，得，
故當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)四邊形ADBE面積S有最小值．（18分）
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，主要考查了橢圓的應(yīng)用，向量的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查利用基本不等式求最值問題．