Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，且其函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)在（0，a]和（1，+∞）的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把點(diǎn)（1，2）的坐標(biāo)代入f（x）=x+

a

x

，求出a．對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+

a

x

，且其函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），∴f（1）=2，
∴1+

a

1

=2，∴a=1．
（2）∵a=1，∴f(x)=x+

1

x

∴f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，
令f′（x）=0得x=-1，或x=1
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，由f′（x）＜0得-1＜x＜1，
∴在x∈（0，1]時(shí)f′（x）＜0，在x∈（1，+∞）時(shí)f′（x）＞0，
∴在f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．