Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F(xiàn)為BB₁上一點(diǎn)，BF=BC=2，F(xiàn)B₁=1，D為BC中點(diǎn)，E為線段AD上不同于點(diǎn)A、D的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF⊥FC₁；
（Ⅱ）若AB=

2

，求DF與平面FA₁C₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）要證C₁F⊥EF，只需證明C₁F⊥平面DEF，由AB=AC，D為BC的中點(diǎn)可得AD⊥BC，由BB₁⊥平面ABC  可得BB₁⊥AD，由AD⊥平面B₁BCC₁  可得AD⊥FC₁，然后根據(jù)已知可證C₁F⊥FD，根據(jù)線面垂直的判定定理
可得
（2）設(shè)DF與平面FA₁C₁所成的角為θ，點(diǎn)D到FA₁C₁的距離為h，利用等體積法可求h，由sinθ=

h

DF

可求

解答：解：（1）AB=AC，D為BC的中點(diǎn)∴AD⊥BC
∵BB₁⊥平面ABC∴BB₁⊥AD
∴AD⊥平面B₁BCC₁∴AD⊥FC₁
∵BC=BF=2∴DB=1，又 FB₁=1
∴Rt△DBF∽R(shí)t△FB₁C₁∴∠DFB+∠C1FB1=

π

2

，∠DFC1=

π

2

∴C₁F⊥FD∵FD∩AD=D
∴C₁F⊥平面DEF∴C₁F⊥EF
（2）設(shè)點(diǎn)D到FA₁C₁的距離為h
由（1）知C₁F⊥FD
用等體積法可知

1

3

×

1

2

×C1A1×A1F•h=

1

3

×

1

2

×AD×DF×FC1
∴

3

×

2

h=1×

5

×

5

∴h=

5 6

6

設(shè)DF與平面FA₁C₁所成的角為θ
則sinθ=

h

DF

=

30

6

∴DF與平面FA₁C₁所成的角arcsin

30

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)換的應(yīng)用，而（2）問(wèn)的求解主要是利用了等體積法求解點(diǎn)到面的距離，這是求解距離的常用方法，避免了做垂線的難點(diǎn)，求而不作．