如圖12-6,給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0)和直線l∶x=-1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系
注:文科題設(shè)還有條件a≠1
圖12-6
解法一:依題意,記B(-1,b) (b∈R),則直線OA和OB的方程分別y=0和y=-bx.設(shè)點(diǎn)C(x,y),則有
0≤x<a,由OC平分∠AOB,知點(diǎn)C到OA、OB距離相等根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得|y|= ①
依題設(shè),點(diǎn)C在直線AB上,故有:y=-(x-a)
由x-a≠0,得b=- ②
將②式代入①式得:
y2[1+]=[y- ]2
整理得:y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0
若y≠0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a);
若y=0,則b=0,∠AOB=π,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)滿足上式
綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)
∵ a≠1,
∴=1(0≤r<a ) ③
由此知,當(dāng)0<a<1時(shí),方程③表示橢圓弧段;當(dāng)a>1時(shí),方程③表示雙曲線一支的弧段
圖12-25
解法二:如圖12-25,設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥x軸,E是垂足
(Ⅰ)當(dāng)|BD|≠0時(shí),設(shè)點(diǎn)C(x,y),則0<x<a,y≠0
由CE∥BD,得|BD|= (1+a)
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD
∴2∠COA=π-∠BOD
∵tg(2∠COA)=,
tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,
tg∠COA=,
tg∠BOD=(1+a)
∴(1+a)
整理得:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)
(Ⅱ)當(dāng)|BD|=0時(shí),∠BOA=π,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0),滿足上式
綜合(Ⅰ)(Ⅱ),得點(diǎn)C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)
以下同解法一.
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(經(jīng)典回放)如圖所示,給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0)和直線l:x=-1,B是直線l上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖12-6,給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0)和直線l∶x=-1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn),∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系
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