Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，都有恒成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，恒成立；
（1）求f（0）的值，并例舉滿足題設(shè)條件的一個(gè)特殊的具體函數(shù)；
（2）判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若函數(shù)F（x）=f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+1（其中）有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，求u=（x₁+x₂+x₃）+x₁•x₂•x₃的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0）+?f（0）=-；
例：f（x）=x-，驗(yàn)證：f（x+y）=x+y+=（x-）+（x-）+=f（x）+f（y）+．
（2）判定f（x）在R上單調(diào)遞增．
證明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）+=f（x₂-x₁）+，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞-，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），函數(shù)是增函數(shù)．
（3）由F（x）=0?f（max{-x，2x-x²}）+f（-k）+=-．
∴f（max{-x，2x-x²}+（-k））=f（0），
又由（2）知f（x）是R上的增函數(shù)
∴max{-x，2x-x²}+（-k）=0?k=max{-x，2x-x²}，
設(shè)g（x）=max{-x，2x-x²}，
則g（x）=
F（x）有三個(gè)零點(diǎn)?k=max{-x，2x-x²}有三個(gè)解．如圖，

當(dāng)0＜K＜1時(shí)y=k與y=max{-x，2x-x²}的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)依是x₁，x₂，x₃．
則x₁=-k，x₂，x₃ 是方程2x-x²=k的兩根，則x₂+x₃=2，x₂•x₃=k．
∴u=2-k-k²，（0＜k＜1），
u=-+，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴u∈（0，2）
故u的取值范圍是（0，2）
分析：（1）代入x=y=0，可求；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；
（3）根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)的條件轉(zhuǎn)化為方程的根的判定，結(jié)合最值函數(shù)的圖象，利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、方程的根的存在性及根與系數(shù)的關(guān)系．