Question

8．已知函數f（x）=lnx+x，g（x）=$\frac{1}{2}$mx²+mx-1（m為整數）．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數y=f（x）的圖象始終在函數y=g（x）圖象的下方，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求函數的導數，利用導數的幾何意義進行求解即可．
（2）構造函數G（x）=f（x）-g（x），將條件轉化為G（x）＜0，恒成立，求函數的導數，利用導數研究函數的最值問題即可得到結論．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）；
則f（1）=ln1+1=1，
f′（x）=1+$\frac{1}{x}$，
則f′（1）=1+1=2，
則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1；
（2）令G（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$mx²+（1-m）x+1，x＞0，
若函數y=f（x）的圖象始終在函數y=g（x）圖象的下方，
等價為G（x）＜0，恒成立，
即G（x）_max＜0恒成立，
G′（x）=$\frac{1}{x}$-mx+1-m=$\frac{-m{x}^{2}+（1-m）x+1}{x}$，（x＞0），
①當m≤0時，∵x＞0，∴G′（x）＞0，
則G（x）在（0，+∞）上單調遞增，∵G（1）=-$\frac{3}{2}$m+2＞0，
∴f（x）的圖象不可能在g（x）的圖象的下方，
②當m＞0時，G′（x）=$\frac{-m{x}^{2}+（1-m）x+1}{x}$=$\frac{-m（x-\frac{1}{m}）（x+1）}{x}$，（x＞0），
令G′（x）=0，得x=$\frac{1}{m}$，
當0＜x＜$\frac{1}{m}$時，G′（x）＞0，函數G（x）遞增，
當x＞$\frac{1}{m}$時，G′（x）＜0．函數G（x）遞減，
即當x=$\frac{1}{m}$時，函數G（x）取得最大值G（$\frac{1}{m}$）=ln$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$m•（$\frac{1}{m}$）²+（1-m）•$\frac{1}{m}$+1=$\frac{1}{2m}$-lnm，
令r（m）=$\frac{1}{2m}$-lnm則r（m）在（0，+∞）上為減函數，
∵r（1）=$\frac{1}{2}$-ln1=$\frac{1}{2}＞0$，r（2）=$\frac{1}{4}$-ln2＜$\frac{1}{4}$-ln$\sqrt{e}$=-$\frac{1}{4}$＜0，
∴當m≥2，r（m）＜0，則m的最小值是2．

點評 本題主要考查導數的應用，求函數的導數根據導數的幾何意義以及構造函數轉換為最值恒成立問題是解決本題的關鍵．