Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且對(duì)任意的n∈N^*都有：a_n+1=a_n+n+1，則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=（　�。�

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2015}{1008}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{4032}{2017}$

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合列項(xiàng)法進(jìn)行求和即可．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+1，∴a_n+1-a_n=n+1，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，…，a_n-a_n-1=n，
等式兩邊同時(shí)相加得a_n-a₁=2+3+4+…+n，
即a_n=a₁+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2（1-$\frac{1}{2017}$）=2×$\frac{2016}{2017}$=$\frac{4032}{2017}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列求和的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式以及，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．