Question

在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱AA′⊥底面A′B′C′D′，AB=2，AA′=4，給出下面五個(gè)命題：
①該四棱柱的外接球的表面積為24π；
②在該四棱柱的12條棱中，與直線B′D異面的棱一共有4條；
③用過點(diǎn)A′、C′的平面去截該四棱柱，且截面為四邊形，則截面四邊形中至少有一組對邊平行；
④用過點(diǎn)A′、C′的平面去截該四棱柱，且截面為梯形，則梯形兩腰所在直線的交點(diǎn)一定在直線DD′上；
⑤若截面為四邊形A′C′NM，且M、N分別為棱AD、CD的中點(diǎn)，則截面面積為

3 33

2

．
其中所有是真命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①根據(jù)正四棱柱的對角線即為外接球的直徑，再根據(jù)球的表面積即可判斷；
②由異面直線的定義，列舉出與與直線B′D異面的棱，即可判斷②；
③運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行，即可判斷；
④可舉截面與面AC的交點(diǎn)在AB，CB上，通過延長判斷即可得到結(jié)論；
⑤首先判斷它是等腰梯形，再分別求出底和腰的長，運(yùn)用梯形面積公式即可得到答案．

解答：  解：①由于該四棱柱為正四棱柱，則其外接球的直徑2r為正四棱柱的對角線長，
即2r=

22+22+42

=

24

，故球的表面積為4πr²=24π，故①正確；
②在該四棱柱的12條棱中，與直線B′D異面的棱有AB，BC，AA'，CC'，A'D'，D'C'，
共六條，故②錯(cuò)；
③用過點(diǎn)A′、C′的平面去截該四棱柱，且截面為四邊形，則由面A'C'∥面AC，
截面與面AC、A'C'的兩條交線平行，則截面四邊形中至少有一組對邊平行，故③正確；
④用過點(diǎn)A′、C′的平面去截該四棱柱，且截面為梯形，
若截面與面AC的交點(diǎn)在AD，CD上，則梯形兩腰所在直線的交點(diǎn)在直線DD'上，
若截面與面AC的交點(diǎn)在AB，CB上，則梯形兩腰所在直線的交點(diǎn)在直線BB'上，故④錯(cuò)；
⑤若截面為四邊形A′C′NM，且M、N分別為棱AD、CD的中點(diǎn)，則由面面平行的性質(zhì)定理得，截面為梯形，由正四棱柱得，截面為等腰梯形，且兩底MN=

2

，A'C'=2

2

，腰長為

17

，則高為

17- 1 2

=

33

2

，
故截面面積為

1

2

•3

2

•

33

2

=

3 33

2

，故⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷及應(yīng)用為載體考查空間直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，同時(shí)考查空間兩直線的位置關(guān)系：異面，考查球內(nèi)接四棱柱的關(guān)系，考查空間想象能力和簡單推理能力，以及簡單運(yùn)算能力．