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15.已知fx={|log3x|0x313x2103x+8x3abcd是互不相同的正數(shù),且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),則abcd的取值范圍是(21,24).

分析 先畫出函數(shù)f(x)的圖象,再根據(jù)條件利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的對稱性,利用數(shù)形結(jié)合,即可求出其范圍.

解答 解:函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示
若a、b、c、d互不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),
不妨令a<b<c<d,
則0<a<1,1<b<4,
則log3a=-log3b,即log3a+log3b=log3ab=0,
則ab=1,
13x2-103x+8=1得x2-10x+21=0,
得x=7或x=3,
同時c∈(3,4),d∈(6,7),
∵c,d關(guān)于x=5對稱,∴c+d2=5,
則c+d=10,則10=c+d,
同時cd=c(10-c)=-c2+10c=-(c-5)2+25,
∵c∈(3,4),
∴當(dāng)c=3時,cd=3×7=21,
當(dāng)c=4時,cd=4×6=24,
∴cd∈(21,24),
即abcd=cd∈(21,24),
故答案為:(21,24);

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用,由題意正確畫出圖象和熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵.利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

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