Question

5．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為 a_n=（n-k₁）（n-k₂），其中k₁，k₂∈Z：
（1）試寫出一組k₁，k₂∈Z的值，使得數(shù)列{a_n}中的各項均為正數(shù)；
（2）若k₁=1、k₂∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，且對任意m∈N^*（m≠3），均有b₃＜b_m，寫出所有滿足條件的k₂的值；
（3）若0＜k₁＜k₂，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n+|a_n|，其前n項和為S_n，且使c_i=c_j≠0（i，j∈N^*，i＜j）的i和j有且僅有4組，S₁、S₂、…、S_n中至少3個連續(xù)項的值相等，其他項的值均不相等，求k₁，k₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)f（x）=（x-k₁）（x-k₂）是與x軸交于k₁、k₂兩點且開口向上的拋物線可知，只需知k₁、k₂均在1的左邊即可；
（2）通過k₁=1化簡可知b_n=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$-（1+k₂），排除k₂=1、2可知k₂≥3，此時可知對于f（n）=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$而言，當(dāng)n≤$\sqrt{{k}_{2}}$時f（n）單調(diào)遞減，當(dāng)n≥$\sqrt{{k}_{2}}$時f（n）單調(diào)遞增，進(jìn)而解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{_{2}＞_{3}}\\{_{3}＜_{4}}\end{array}\right.$即得結(jié)論；
（3）通過0＜k₁＜k₂及a_n=（n-k₁）（n-k₂）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{n＜{k}_{1}或n＞{k}_{2}}\\{0，}&{{k}_{1}≤n≤{k}_{2}}\end{array}\right.$，結(jié)合c_i=c_j≠0（i，j∈N^*，i＜j）可知0＜i＜k₁＜k₂＜j，從而可知k₁的最小值為5，通過S₁、S₂、…、S_n中至少3個連續(xù)項的值相等可知5=k₁≤m+1＜m+2＜…＜k₂，進(jìn)而可得k₂的最小值為6．

解答 解：（1）k₁=k₂=0；
（2）∵k₁=1、k₂∈N^*，a_n=（n-k₁）（n-k₂），
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{（n-1）（n-{k}_{2}）}{n}$=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$-（1+k₂），
當(dāng)k₂=1、2時，f（n）=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$均單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)k₂≥3時，對于f（n）=n+$\frac{{k}_{2}}{n}$可知：
當(dāng)n≤$\sqrt{{k}_{2}}$時f（n）單調(diào)遞減，當(dāng)n≥$\sqrt{{k}_{2}}$時f（n）單調(diào)遞增，
由題意可知b₁＞b₂＞b₃、b₃＜b₄＜…，
聯(lián)立不等式組$\left\{\begin{array}{l}{_{2}＞_{3}}\\{_{3}＜_{4}}\end{array}\right.$，解得：6＜k₂＜12，
∴k₂=7，8，9，10，11；
（3）∵0＜k₁＜k₂，a_n=（n-k₁）（n-k₂），
∴c_n=a_n+|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{n＜{k}_{1}或n＞{k}_{2}}\\{0，}&{{k}_{1}≤n≤{k}_{2}}\end{array}\right.$，
∵c_i=c_j≠0（i，j∈N^*，i＜j），
∴i、j∉（k₁，k₂），
又∵c_n=2[n²-（k₁+k₂）n+k₁k₂]，
∴$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{2}$=$\frac{i+j}{2}$，
∴0＜i＜k₁＜k₂＜j，
此時i的四個值為1，2，3，4，故k₁的最小值為5，
又S₁、S₂、…、S_n中至少3個連續(xù)項的值相等，
不妨設(shè)S_m=S_m+1=S_m+2=…，則c_m+1=c_m+2=…=0，
∵當(dāng)k₁≤n≤k₂時c_n=0，
∴5=k₁≤m+1＜m+2＜…＜k₂，
∴k₂≥6，即k₂的最小值為6．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．