Question

2．求證：$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 原不等式即為2ⁿ＞$\frac{n（n-1）}{2}$（n≥2，n∈N），由2ⁿ=（1+1）ⁿ，運用二項式定理即可得證．

解答 證明：$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）即為2ⁿ＞$\frac{n（n-1）}{2}$（n≥2，n∈N），
由2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$+1，
當(dāng)n≥2，n∈N，2ⁿ＞${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，
可得$\frac{n}{{2}^{n}}$＜$\frac{2}{n-1}$（n≥2，n∈N）成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用二項式定理，也可以運用數(shù)學(xué)歸納法證明，考查化簡整理的推理能力，屬于中檔題．