分析 (1)設(shè)f(x)=|x-a|+|2x-1|,由題意可得當$x∈[\frac{1}{2},1]$時,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,化簡可得x-2≤a≤x+2在$x∈[\frac{1}{2},1]$上恒成立,可得(x-2)max≤a≤(x+2)min,求得最值,即可得到a的范圍;
(2)運用基本不等式,可得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,a2+b2≥2ab,累加即可得證.
解答 解:(1)設(shè)f(x)=|x-a|+|2x-1|,
即有f(x)≤|2x+1|的解集包含$[\frac{1}{2},1]$,
當$x∈[\frac{1}{2},1]$時,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,
即|x-a|+|2x-1|≤|2x+1|在$x∈[\frac{1}{2},1]$上恒成立,
可得|x-a|+2x-1≤2x+1,
即|x-a|≤2,即-2≤x-a≤2,
即x-2≤a≤x+2在$x∈[\frac{1}{2},1]$上恒成立,
可得(x-2)max≤a≤(x+2)min,
即有$-1≤a≤\frac{5}{2}$,
則a的取值范圍是$[-1,\frac{5}{2}]$;
證明:(2)由均值不等式可得:$\left\{\begin{array}{l}{a^2}{b^2}+{a^2}≥2{a^2}b\\{a^2}{b^2}+{b^2}≥2a{b^2}\\{a^2}+{b^2}≥2ab\end{array}\right.$,
三式相加:2(a2b2+a2+b2)≥2(a2b+ab2+ab),
即a2b2+a2+b2≥a2b+ab2+ab=ab(a+b+1),
當且僅當a=b=1,取得等號.
點評 本題考查不等式的解法和證明,注意運用轉(zhuǎn)化思想和基本不等式,考查化簡整理和推理能力,屬于中檔題.
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A. | 2n2-6n+4 | B. | n2-3n+2 | C. | 2n2-2n | D. | n2-n |
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