Question

4．《九章九術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年．例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．如圖，在塹堵ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，若A₁A=AB=2，當(dāng)陽馬B-A₁ACC₁體積最大時(shí)，則塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積為（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，BC=y，由陽馬B-A₁ACC₁體積最大，得到AC=BC=$\sqrt{2}$，由此能求出塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答 解：設(shè)AC=x，BC=y，由題意得x＞0，y＞0，x²+y²=4，
∵當(dāng)陽馬B-A₁ACC₁體積最大，
∴V=$\frac{1}{3}×$2x×y=$\frac{2}{3}xy$取最大值，
∵xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\sqrt{2}$時(shí)，取等號(hào)，
∴當(dāng)陽馬B-A₁ACC₁體積最大時(shí)，AC=BC=$\sqrt{2}$，
此時(shí)塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．