Question

已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，、分別是線段、的中點．

（1）證明：；
（2）判斷并說明上是否存在點，使得∥平面；
（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）滿足的點即為所求．
（Ⅲ）二面角的余弦值為．

本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定，其中解法一的關(guān)鍵是建立的空間坐標系，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，解法二的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面關(guān)系的判定，性質(zhì)．
（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有AH=
AD，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=
AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案