Question

8．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，中心為O，P為雙曲線右支上一點，Q為OF₂中點，且PQ過△PF₁F₂的內心，當∠POF₂最大時，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得PQ為∠F₁PF₂的平分線，運用內角平分線定理可得$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}Q}{{F}_{2}Q}$=3，由雙曲線的定義可得PF₁-PF₂=2a，解得PF₁=3a，PF₂=a，由余弦定理可得OP，在△POF₂中，求得cos∠POF₂，運用離心率公式和基本不等式即可得到所求最大值時，離心率的大小．

解答 解：由題意可得PQ為∠F₁PF₂的平分線，
可得$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}Q}{{F}_{2}Q}$=$\frac{\frac{3c}{2}}{\frac{1}{2}c}$=3，
由雙曲線的定義可得PF₁-PF₂=2a，
解得PF₁=3a，PF₂=a，
由OP為△F₁PF₂的中線，
由余弦定理可得$\frac{O{P}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2OP•c}$=-$\frac{O{P}^{2}+{c}^{2}-9{a}^{2}}{2OP•c}$，
解得OP=$\sqrt{5{a}^{2}-{c}^{2}}$，
在△POF₂中，cos∠POF₂=$\frac{{c}^{2}+5{a}^{2}-{c}^{2}-{a}^{2}}{2c\sqrt{5{a}^{2}-{c}^{2}}}$
=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{c}^{2}（5{a}^{2}-{c}^{2}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}（5-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{{e}^{2}（5-{e}^{2}）}}$
≥$\frac{2}{\frac{{e}^{2}+5-{e}^{2}}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
當且僅當e²=5-e²，即e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，cos∠POF₂取得最小值$\frac{4}{5}$，
即有∠POF₂取得最大．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用余弦定理和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．