如圖所示,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1 ,AB=1,AA1=2,點(diǎn)ECC1中點(diǎn),點(diǎn)FBD1中點(diǎn).

(1)證明EFBD1CC1的公垂線;

(2)求點(diǎn)D1到平面BDE的距離.

解析:(1)證法一:取BD中點(diǎn)M ,連結(jié)MC FM .?

FBD1中點(diǎn),∴FMDD1FM=D1D.?

又∵EC=CC1ECMC,?

∴四邊形EFMC是矩形.∴EFCC1.?

CM⊥面DBD1,∴EF⊥平面DBD1.?

BD1平面DBD1,∴EFBD1.?

EFBD1CC1的公垂線.?

證法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,得B(0,1,0),D1(1,0,2) ,F,?,1),C1(0,0,2),E(0,0,1).??

=(,,1)-(0,0,1)=( -0, -0,1-1)=( ,,0),=(0,0,2), =(1,0,2)-(0,1,0)=(1-0,0-1,2-0)=(1,-1,2).?

?=×0+×0+0×0=0.?

?       =×1+×(-1)+0×2=-+0=0.?

EFCC1,EFBD1.?

EFCC1BD1的公垂線.?

證法三:(自由向量法)設(shè)=a =b ,=c ,且|a|=|b|=1,|c|=2,a⊥bac,cb.?

=c, =ba + c,?

?b-a+c,

.?

.?

 ∵,且.?

EFCC1BD1的公垂線.?

(2)解法一:連結(jié)ED1,有VEDBD1=VD1—DBE .?

由(1)知,EFCC1,∴EFDD1.?

EFBD1,∴EF⊥面DBD1.?

設(shè)點(diǎn)D1到面BDE的距離為d,?

S△DBE?·d=SDBD1·EF.?

AA1=2,AB=1,∴BD=BE=ED=,EF=.?

SDBD1 =,SDBE =.?

.?

.?

故點(diǎn)D1到平面BDE的距離為.?

解法二:由(1)的證法三知, ,,?在面BDE內(nèi)任取一點(diǎn)M,以為基底,將用它們來表示,即

,?

??

ab,bc,ca,|a|=|b|=1,|c|=2,?

 

 

?當(dāng)且僅當(dāng)y +x=0且x +=0時(shí)取等號,?

即當(dāng)x =,y =時(shí),的最小值為,?即.?

故點(diǎn)D1到面BDE的距離為.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1,點(diǎn)E在棱AA1上,A1C∥平面EBD,截面EBD的面積為
2
2

(1)A1C與底面ABCD所成角的大。
(2)若AC與BD的交點(diǎn)為M,點(diǎn)T在CC1上,且MT⊥BE,求MT的長.

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如圖所示,已知正四棱錐側(cè)棱長為,底面邊長為,的中點(diǎn),則異面直線所成角的大小為(   )

A.       B.       C.      D.

 

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如圖所示,已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1的底面邊長為4,AA1=6,Q為BBl的中點(diǎn),PDDl,MAlB1,N∈ClD1,A1M=1,D1N=3.

(1)當(dāng)P為DD1的中點(diǎn)時(shí),求二面角M―PN―D1的大;

(2)在DD1上是否存在點(diǎn)P,使QD1⊥PMN面?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由;

(3)若P為DD1的中點(diǎn),求三棱錐Q―PMN的體積.

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如圖所示,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1,點(diǎn)E在棱AA1上,A1C∥平面EBD,截面EBD的面積為
(1)A1C與底面ABCD所成角的大;
(2)若AC與BD的交點(diǎn)為M,點(diǎn)T在CC1上,且MT⊥BE,求MT的長.

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