Question

設(shè)向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），定義一種向量積

a

?

b

=（a₁，a₂）?（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知向量

m

=（2，

1

2

），

n

=（

π

3

，0），點(diǎn)P（x₀，y₀）為y=sinx的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（x，y）為y=f（x）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）請(qǐng)用x₀表示

m

?

OP

；
（Ⅱ）求y=f（x）的表達(dá)式并求它的周期；
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的

1

4

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-t（t∈R），試討論函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)所給新運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）利用向量的相等，得到x₀，y₀與x，y之間的關(guān)系，然后建立關(guān)系式即可；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ），結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2，

1

2

），

OP

=（x₀，y₀），
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）為y=sinx的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，
∴y₀=sinx₀，
∴

m

?

OP

=（2x₀，

1

2

y₀）=（2x₀，

1

2

sinx₀）
（Ⅱ）∵

OQ

=

m

?

OP

+

n

所以(x ， y)=(2x0 ， 

1

2

sinx0)+(

π

3

，0)=(2x0+

π

3

 ， 

1

2

sinx0)，
因此

x=2x0+ π 3 y= 1 2 sinx0

即

x0= x- π 3 2 sinx0=2y

，
所以y=f(x)=

1

2

sin(

1

2

x-

π

6

)，它的周期為4π．         
（Ⅲ）g(x)=

1

2

sin(2x-

π

6

)在[0，

π

3

]上單調(diào)遞增，在[

π

3

，

π

2

]上單調(diào)遞減，
又g(0)=-

1

4

 ， g(

π

3

)=

1

2

 ， g(

π

2

)=

1

4

，
當(dāng)t=

1

2

或-

1

4

≤t＜

1

4

時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)

1

4

≤t＜

1

2

時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)t＜-

1

4

或t＞

1

4

時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查向量的基本運(yùn)算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)，屬于中檔題．