已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=
3
，若球O的體積為
20
5
3
π，則這個(gè)直三棱柱的體積等于（　　）
分析：根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和球的對(duì)稱性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心連線段的中點(diǎn)，連接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的體積算出OA=
5
，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面積S△ABC=
3
4
，可得此直三棱柱的體積．
解答：解：設(shè)△ABC和△A1B1C1的外心分別為O1、O2，連接O1O2，
可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)，連接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C
△ABC中，cosA=
AB2+AC2-BC2
2AB•AC
=-
1
2

∵A∈（0，π），∴A=
2π
3

根據(jù)正弦定理，得△ABC外接圓半徑O1A=
BC
2sinA 
=1
∵球O的體積為V=
4πR3
3
=
20
5
3
π，∴OA=R=
5

Rt△O1OA中，O1O=
OA2-O1A 2
=2，可得O1O2=2O1O=4
∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面積S△ABC=
1
2
AB•ACsin
2π
3
=
3
4

∴直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為S△ABC×O1O2=
3

故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出直三棱柱的底面三角形的形狀和外接球的體積，求此三棱柱的體積，著重考查了球的體積公式式、直三棱柱的性質(zhì)和球的對(duì)稱性等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，且D，E，F(xiàn)分別為BC，BB1，AA1的中點(diǎn)．
（I） 求證：平面B1FC∥平面EAD；
（II）求證：BC1⊥平面EAD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，E，F(xiàn)，H分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，
（I）證明：EF⊥AH；    
（II）求四面體E-FAH的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC；M．N．P分別是棱BC．CC1．B1C1的中點(diǎn)．A1Q=3QA， BC=
2
AA1
（Ⅰ）求證：PQ∥平面ANB1；
（Ⅱ）求證：平面AMN⊥平面AMB1．

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