Question

已知函數f（x）=e^x+ae^-x，
（1）試討論函數f（x）的奇偶性；
（2）若函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數奇偶性的定義即可判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）利用函數單調性的定義進行證明即可．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=e^x+e^-x，f（-x）=e^x+e^-x=f（x），∴f（x）是偶函數；
當a=-1時，f（x）=e^x-e^-x，f（-x）=e^-x-e^-x=-f（x），∴f（x）是奇函數；
當a≠1且a≠-1，函數f（x）=e^x+ae^-x是非奇非偶函數．
（2）用定義法說明：
對任意的x₁，x₂＞1，且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)(1-

a

ex2ex1

)＞0
∴a＜ex2ex1，對任意的x₁，x₂＞1恒成立，
∴a≤e²．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，要求熟練掌握函數奇偶性和單調性的定義．