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已知函數f(x)=-lnx+
1
2
ax2
+(1-a)x+2.
(Ⅰ)當a>0時,求函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若0<x<1,求證:f(1+x)<f(1-x);
(Ⅲ)若A(x1,y1),B(x2,y2)為函數y=f(x)的圖象上的兩點,記k為直線AB的斜率,若x0=
x1+x2
2
,f′(x)為f(x)的導函數,求證:f′(x0)>k.
考點:利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值
專題:導數的綜合應用
分析:(Ⅰ)利用導數判斷函數的單調性即可;
(Ⅱ)構造函數g(x)=ln(1-x)-ln(1+x)+2x,利用導數求其最大值為0,即得結論;
(Ⅲ)利用斜率公式及導數的幾何意義及(Ⅱ)的結論即可得證.
解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=-
1
x
+ax+(1-a)=
(ax+1)(x-1)
x
,
∴當0<x<1時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,
當x>1時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;
(Ⅱ)f(1+x)-f(1-x)=ln(1-x)-ln(1+x)+2x,
令g(x)=ln(1-x)-ln(1+x)+2x,
∴g′(x)=
2x2
x2-1
,
∵0<x<1,g′(x)<0,g(x)單調遞減,∴g(x)<g(0)=0.
∴f(1+x)<f(1-x).
(Ⅲ)k=
y1-y2
x1-x2
=
lnx2-lnx1
x2-x1
+
1
2
a(x2-x1)+1-a,
f′(x0)=-
1
x0
+ax0+1-a>
lnx2-lnx1
x2-x1
+
1
2
a(x2-x1)+1-a,?
2
x2+x1
lnx2-lnx1
x2-x1
?ln
x2
x1
>2
x2
x1
-1
x2
x1
+1
,
令x2>x1>0,
x2
x1
-1
x2
x1
+1
=t,(0<t<1),∴
x2
x1
=
1+t
1-t
,
ln
x2
x1
>2
x2
x1
-1
x2
x1
+1
?ln
1+t
1-t
>2t?ln(1+t)-ln(1-t)+2t<0,
由(Ⅱ)可知上式成立.
∴f′(x0)>k成立.
點評:本題主要考查利用導數研究函數的單調性、求函數的最值等知識,考查學生分析問題,解決問題的能力,注意構造法的合理應用,邏輯性強,屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

下列函數中,值域為(0,+∞)的是(  )
A、y=
x2-2x+1
B、y=
x+2
x+1
  (x∈(0,+∞))
C、y=
1
x2+2x+1
  (x∈N)
D、y=
1
|x+1|

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科目:高中數學 來源: 題型:

化簡:
a
-
b
4a
-
4b
(a>0,b>0).

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科目:高中數學 來源: 題型:

如表是某城市2001-2010年月平均氣溫(華氏F):
 月份 1 2 3 4 5 6
 平均氣溫 21.4 26.0 
36.0
 48.8 59.1 68.6
 月份 7 8 9 10 11 12
 平均氣溫 73.1 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
若用x表示月份,y表示平均氣溫,則下面四個函數模型中最合適的是( 。
A、y=26cos
π
6
x
B、y=26cos
π(x-1)
6
+46
C、y=-26cos
π(x-1)
6
+46
D、y=26sin
π
6
x+26

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科目:高中數學 來源: 題型:

某程序框圖如圖所示,若輸入的n=10,則輸出的結果是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x(x∈R)
(1)求函數f(x)的最小正周期;
(2)在給出的直角坐標系中,畫出函數y=f(x)在區(qū)間[-
π
2
,
π
2
]上的圖象.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設二項式(3
3x
+
1
x
n的展開式的各項系數的和為p,所有二項式系數的和為S.若p+S=272,則n等于( 。
A、4B、5C、6D、8

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科目:高中數學 來源: 題型:

若對任意的x∈[0,1],關于x的不等式ex(e2x+a2)-2ae2x≤1恒成立,則a的取值范圍是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

(1)已知f(x+3)=x2+6x,則f(x)=
 
;
(2)已知f(
1+x
1-x
)=
1-x2
1+x2
,則f(x)的解析式可取為
 

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