Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，（n+1）a_n=2S_n，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b₁=2，b_n=a_n²-a²_n-1（n≥2），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意得n≥2時

an

an-1

=

n

n-1

，利用累乘法即可，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=

2 n=1 2n-1 n≥2

，利用等差數(shù)列求和公式即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）n≥2時，（n+1）a_n=2S_n，①
na_n-1=2s_n-1，②
由①-②得（n+1）a_n-na_n-1=2a_n，

an

an-1

=

n

n-1

，
∴a_n=a1•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=1×

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=n，
即a_n=n．
（Ⅱ）n≥2時，b_n=a_n²-a²_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又b₁=2不滿足上式，
∴b_n=

2 n=1 2n-1 n≥2

，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+3+5+7+…+（2n-1）=1+

n(1+2n-1)

2

=n²+1．

點評：本題主要考查累乘法求數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列求前n項和，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．