分析 (1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y22=1(a>b>0),由題意可得:c=√3,2a+2c=4+2√3,a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可得出;
(2)由題意易知:直線l的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為:y=kx+2,(k≠0).設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(x0,y0).線段OO′的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x02,y02),由題意可知:y02=k•x02+2,x204+y20=1,y0x0×k=-1,聯(lián)立解出即可得出.
解答 解:(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y22=1(a>b>0),
由題意可得:c=√3,2a+2c=4+2√3,a2=b2+c2,
聯(lián)立解得:c=√3,a=2,b=1.
所求橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)由題意易知:直線l的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為:y=kx+2,(k≠0).
設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(x0,y0).
則線段OO′的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x02,y02),
由題意可知:點(diǎn)D在直線l上,故有y02=k•x02+2,①
點(diǎn)O在橢圓C上,故有x204+y20=1,②
線段OO′與直線l垂直,故有y0x0×k=-1,③
由①③可得:x0=-4kk2+1,y0=4k2+1,將其代入②可得:k=±√5.
故所求直線l的方程為:y=±√5x+2.
點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | x-2y+9=0或x+2y+3=0 | B. | 2x-y+9=0或2x+y+3=0 | ||
C. | x+2y+3=0或x-2y+9=0 | D. | x+2y+9=0或2x-y+3=0 |
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A. | 143 | B. | 133 | C. | 3 | D. | 83 |
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A. | (0,+∞) | B. | [-1,0) | C. | [-1,+∞) | D. | [-2,+∞) |
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