Question

20．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，M為SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N．   
（Ⅰ）求證：SB∥平面ACN；
（Ⅱ）求證：SC⊥平面AMN；
（Ⅲ）求AC與平面AMN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于E，連接ME．利用正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理可得：ME∥SB，再利用線面平行的判定定理即可證明．
（Ⅱ）利用線面垂直的判定定理可得：DC⊥平面SAD，AM⊥DC，又AM⊥SD，可得AM⊥平面SDC，SC⊥AM，即可證明．
（Ⅲ）由線面垂直的性質(zhì)可分析可得∠CAN為AC與平面AMN所成的角，則在Rt△SAC中，設(shè)SA=1，計算可得AC=$\sqrt{2}$，SC=$\sqrt{3}$，AN=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，進而由三角函數(shù)的定義可得cos∠CAN的值，即可得答案．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）證明：連結(jié)BD，交AC于點E，連結(jié)ME．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴E是BD的中點．
又M是SD的中點，
∴ME∥SB．  …（2分）
又ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．  …（4分）
（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥CD．
又CD⊥AD，SA∩AD=A，
∴CD⊥平面SAD． …（5分）
又AM?平面SAD，∴CD⊥AM．
由已知SA=AD，M是SD的中點，
∴SD⊥AM．   …（6分）
又SD∩CD=D，∴AM⊥平面SDC   …（7分）
∴AM⊥SC．   …（8分）
又AN⊥SC，AM∩AN=A，
∴SC⊥平面AMN．      …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，SC⊥平面AMN，
∴∠CAN為AC與平面AMN所成的角．  …（11分）
在Rt△SAC中，設(shè)SA=1，則AC=$\sqrt{2}$，SC=$\sqrt{3}$，AN=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
在Rt△ACN中，cos∠CAN=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC與平面AMN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．  …（13分）

點評 本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面角的求法，（Ⅲ）關(guān)鍵是依據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到∠CAN為AC與平面AMN所成的角．