Question

17．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分別為棱AB，BC，C₁D₁的中點．
求證：（1）AP∥平面C₁MN；
（2）平面B₁BDD₁⊥平面C₁MN．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形AMC₁P為平行四邊形，從而AP∥C₁M，由此能證明AP∥平面C₁MN．
（2）連結(jié)AC，推導出MN⊥BD，DD₁⊥MN，從而MN⊥平面BDD₁B₁，由此能證明平面B₁BDD₁⊥平面C₁MN．

解答 證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵M，N，P分別為棱AB，BC，C₁D₁的中點，
∴AM=PC₁，
又AM∥CD，PC₁∥CD，故AM∥PC₁，
∴四邊形AMC₁P為平行四邊形，
∴AP∥C₁M，
又AP?平面C₁MN，C₁M?平面C₁MN，
∴AP∥平面C₁MN．
（2）連結(jié)AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又M、N分別為棱AB、BC的中點，∴MN∥AC，
∴MN⊥BD，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
又MN?平面ABCD，∴DD₁⊥MN，
而DD₁∩DB=D，DD₁、DB?平面BDD₁B₁，
∴MN⊥平面BDD₁B₁，
又MN?平面C₁MN，∴平面B₁BDD₁⊥平面C₁MN．

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．