Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=，求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)c_n=a_n+，求證：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．

Answer 1

解：（1）∵a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．
∴a₂=2-，
，
，
…
猜想．
用數(shù)學歸納法進行證明：
①，成立．
②假設(shè)n=k時，成立，即，
則當n=k+1時，=2-=，成立．
由①②知，．
∵b_n=，
∴b_n+1-b_n=
=-
=-
=（n+1）-n=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2））∵a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．
∴a₂=2-，
，
，
…
猜想．
用數(shù)學歸納法進行證明：
①，成立．
②假設(shè)n=k時，成立，即，
則當n=k+1時，=2-=，成立．
由①②知，．
（3）∵c_n=a_n+，，
∴，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-）+（）+…+（）
=2n+1-＜2n+1．
∵c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-）+（）+…+（）
=2n+1-=2n+＞2n．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．
分析：（1）由a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*，知．由b_n=，知b_n+1-b_n==-=1，故數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2））a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．知a₂=2-，，，…猜想．用數(shù)學歸納法進行證明，得到．
（3）由c_n=a_n+，，知，故c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-）+（）+…+（）=2n+1-2n+，由此知2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．
點評：本題考查等差數(shù)列的證明，通項公式的求法和前n項和的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．