Question

如圖1，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=
90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A-BD-C為直二面角．如圖2，
（Ⅰ）求AD與平面ABC所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以BD的中點O為原點，OC所在的直線為x軸，OD所在的直線為y軸，OA所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，求出面ABC的法向量，利用向量的夾角公式求AD與平面ABC所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求得面ACD的法向量，利用向量的夾角公式求二面角B-AC-D的大小的正弦值．

解答： 解：如圖所示，以BD的中點O為原點，OC所在的直線為x軸，OD所在的直線為y軸，OA所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，則O（0，0，0），D（0，

2

，0），B（0，-

2

，0），C（

2

，0，0），A（0，0，

6

）
（Ⅰ）設面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

AB

=（0，-

2

，-

6

），

BC

=（

2

，

2

，0）
∴由

n • AB =0 n • BC =0

，可得

- 2 y- 6 z=0 2 x+ 2 y=0

，
取z=1有

n

=（

3

，-

3

，1）
∵

AD

=(0，

2

，-

6

)，
∴cos?

AD

，

n

＞=-

21

7

，
∴AD與面ABC所成角的余弦值是

2 7

7

．…（6分）
（Ⅱ）同理求得面ACD的法向量為

n1

=(

3

，

3

，1)，則cos?

n

，

n1

＞=

1

7

則二面角B-AC-D的正弦值為

4 3

7

．…（12分）

點評：本題考查二面角、線面角的求法，考查用向量解決立體幾何問題的方法能力，考查數(shù)形結合、空間想象能力，屬于中檔題．