Question

16．若二次函數f（x）=x²+1的圖象與曲線C：g（x）=ae^x+1（a＞0）存在公共切線，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]
• B． （0，$\frac{8}{{e}^{2}}$]
• C． [$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）
• D． [$\frac{8}{{e}^{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 設公切線與f（x）、g（x）的切點坐標，由導數幾何意義、斜率公式列出方程化簡，分離出a后構造函數，利用導數求出函數的單調區(qū)間、最值，即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：設公切線與f（x）=x²+1的圖象切于點（x₁，${{x}_{1}}^{2}+1$），
與曲線C：g（x）=ae^x+1切于點（x₂，$a{e}^{{x}_{2}}+1$），
∴2x₁=$a{e}^{{x}_{2}}$=$\frac{（a{e}^{{x}_{2}}+1）-（{{x}_{1}}^{2}+1）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{a{e}^{{x}_{2}}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
化簡可得，2x₁=$\frac{2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，得x₁=0或2x₂=x₁+2，
∵2x₁=$a{e}^{{x}_{2}}$，且a＞0，∴x₁＞0，則2x₂=x₁+2＞2，即x₂＞1，
由2x₁=$a{e}^{{x}_{2}}$得a=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{4（{x}_{2}-1）}{{e}^{{x}_{2}}}$，
設h（x）=$\frac{4（x-1）}{{e}^{x}}$（x＞1），則h′（x）=$\frac{4（2-x）}{{e}^{x}}$，
∴h（x）在（1，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減，
∴h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∴實數a的取值范圍為（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]，
故選：A．

點評 本題考查了導數的幾何意義、斜率公式，導數與函數的單調性、最值問題的應用，及方程思想和構造函數法，屬于中檔題．