Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都不為零，求證：對(duì)任意n∈N^*且n≥2，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

成立的充要條件是{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：充分性：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得左邊=

1

d

[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an-1

-

1

an

）]=

1

d

（

1

a1

-

1

an

），通分可得等于右邊；
必要性：由

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

，①可得

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

n

a1an+1

，②，兩式相減，由等差數(shù)列的定義可得．

解答： 證明：充分性，即由{a_n}為等差數(shù)列證

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

，
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則左邊=

1

a2-a1

（

1

a1

-

1

a2

）+

1

a3-a2

（

1

a2

-

1

a3

）+…+

1

an-an-1

（

1

an-1

-

1

an

）
=

1

d

（

1

a1

-

1

a2

）+

1

d

（

1

a2

-

1

a3

）+…+

1

d

（

1

an-1

-

1

an

）
=

1

d

[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an-1

-

1

an

）]
=

1

d

（

1

a1

-

1

an

）=

1

d

•

an-a1

a1an

=

1

d

•

(n-1)d

a1an

=

n-1

a1an

=右邊；
必要性：即由

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

證{a_n}為等差數(shù)列，
∵

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

，①
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

n

a1an+1

，②
②-①可得

1

anan+1

=

n

a1an+1

-

n-1

a1an

，兩邊同乘以a₁a_na_n+1可得
a₁=na_n-（n-1）a_n+1，∴a₁=（n+1）a_n+1-na_n+2，
兩式相減可得0=-na_n+2+（n+1）a_n+1+（n-1）a_n+1-na_n，
∴0=-na_n+2+2na_n+1-na_n，∴2a_n+1=a_n+2+a_n，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
當(dāng)d=0時(shí)，上式仍成立．
綜上可得對(duì)任意n∈N^*且a≥2，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

成立的充要條件是{a_n}為等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的證明，涉及等差數(shù)列的判定，屬中檔題．已改