Question

已知函數f（x）=x+

4

x

．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性
（2）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調性并加以證明；
（3）求f（x）單調區(qū)間、值域．

Answer 1

分析：（1）求出函數定義域，然后利用函數奇偶性的定義即可判斷；
（2）運用導數容易作出正確判斷；
（3）在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求得單調區(qū)間，根據單調性即可求得值域；

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱．
又f（-x）=-（x+

4

x

）=-f（x），
所以f（x）為奇函數；
（2）f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
證明：f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

，
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）上單調遞增；
（3）f′（x）=1-

4

x2

，
令1-

4

x2

＞0得x＞2或x＜-2；令1-

4

x2

＜0得-2＜x＜0或0＜x＜2，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）；單調遞減區(qū)間為（-2，0），（0，2）．
f（-2）=-2+

4

-2

=-4，f（2）=2+

4

2

=4，
所以f（x）的值域為（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，定義是解決該類問題的基本方法，導數是研究函數單調性的有力工具，運用導數更加直接簡便．