如圖，設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|=
4
5
|PD|．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線y=ax-5與曲線C交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)M的坐標為（x，y），P的坐標為（xP，yP），由已知得
xP=x
yP=
5
4
y.
由此能求出C的方程．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由
16x2+25y2=400
y=ax-5
，得（16+25a2）x2-250ax+225=0，由此利用韋達定理和根的判別式能求出a的值．
解答： 解：（1）設(shè)M的坐標為（x，y），P的坐標為（xP，yP），
∵P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|=
4
5
|PD|，
∴
xP=x
yP=
5
4
y.

∵P在圓上，∴x2+(
5
4
y)2=25，即C的方程為
x2
25
+
y2
16
=1．…（4分）
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
16x2+25y2=400
y=ax-5
，得（16+25a2）x2-250ax+225=0，
∴x1+x2=
250a
16+25a2
，x1x2=
225
16+25a2
①…（8分）
由
OA
•
OB
=0，得x1x2+y1y2=0，
即（1+a2）x1x2-5a（x1+x2）+25=0②
將①代入②式得
225(1+a2)-1250a2+25(16+25a2)
16+25a2
=0
解得a=
5
4
，經(jīng)驗滿足△＞0，
∴a=
5
4
．…（12分）
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和根的判別式的合理運用．
練習冊系列答案
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已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓O：x2+y2=1，動點M到圓O的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ＞0），（1）求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？
（2）當λ=
2
時的曲線記為C，在直線y=2x+1上有一點P，過P且垂直于直線4x+3y-3=0的直線被曲線C所截的弦長不小于2
3
，求P點橫坐標的取值范圍．

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如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為（10，0），點C的坐標為（0，10）．分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2…A9和B1，B2…B9，連結(jié)OBi，過Ai做x軸的垂線與OBi交于點Pi（i∈N*，1≤i≤9）．
（1）求證：點Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；
（2）過點C做直線與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4：1，求直線的方程．
（3）傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線E的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點，若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交y軸于點P，證明|FP|+|FP|cos2α為定值，并求此定值．

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從數(shù)列{an}中抽出一些項，依原來的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列{an}的一個子列．
（Ⅰ）寫出數(shù)列{3n-1}的一個是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）設(shè){an}是無窮等比數(shù)列，首項a1=1，公比為q．求證：當0＜q＜1時，數(shù)列{an}不存在是無窮等差數(shù)列的子列．

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求函數(shù)f（x）=x2-
1
x2
+2x+1的值域．

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已知變量x，y滿足約束條件
x+y≥1
y≤3
x-y≤1
，若z=kx+y的最大值為5，則實數(shù)k=
 
．

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已知某二次函數(shù)圖象的頂點為A（2，-18），它與x軸兩個交點之間的距離為6，則該二次函數(shù)的解析式為
 
．

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a13
a9
=
 
．

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A、2
B、2
2
C、4
D、4
2

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