Question

7．在如圖所示的幾何體中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=$\sqrt{6}$．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：DF⊥平面ABE；
（3）求三棱錐D-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)M，利用三角形的中位線的性質(zhì)可得四邊形CDFM為平行四邊形，從而得到DF∥CM，再由線面平行的判定得到DF∥平面ABC；
（2）由已知求解直角三角形證明AE⊥AB，由面面垂直的性質(zhì)可得AC⊥BC，再由線面垂直的判定得到AE⊥平面ABC，從而AE⊥CM．在△ABC中，由AC=BC，M為AB中點(diǎn)，
得CM⊥AB，進(jìn)一步得到CM⊥平面ABE．結(jié)合（1）知DF∥CM，則DF⊥平面ABE；
（3）由（2）可知BC為三棱錐B-CDE的高，然后利用等積法求得三棱錐D-BCE的體積．

解答 證明：（1）設(shè)M為AB中點(diǎn)，連結(jié)FM，CM
在△ABE中，又F為BE中點(diǎn)，∴$FM∥AE，F(xiàn)M=\frac{1}{2}AE$．
又∵CD∥AE，且$CD=\frac{1}{2}AE$，
∴CD∥FM，CD=FM．
則四邊形CDFM為平行四邊形．
故DF∥CM，又DF?平面ABC，CM?平面ABC，
∴DF∥平面ABC；
（2）在Rt△ABC中，AC=BC=1，∴$AB=\sqrt{2}$．
在△ABE中，AE=2，$BE=\sqrt{6}$，$AB=\sqrt{2}$．
∵BE²=AE²+AB²．
∴△ABE為直角三角形．
∴AE⊥AB．
又∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，且∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
故BC⊥平面ACDE．
即BC⊥AE．
∵BC∩AB=B，
∴AE⊥平面ABC，而CM?平面ABC，
故AE⊥CM．
在△ABC中，∵AC=BC，M為AB中點(diǎn)，
∴CM⊥AB．AE∩AB=A，
∴CM⊥平面ABE．
由（1）知  DF∥CM，
∴DF⊥平面ABE；
（3）由（2）可知BC⊥平面ACDE，
∴BC為三棱錐B-CDE的高，
∴V_D-BCF=V_B-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．