Question

12．設(shè)直線l：x+2y-2=0，交橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于A、B兩點(diǎn)，在橢圓C上找一點(diǎn)P，使△ABP面積最大，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)P（3cosθ，2sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)求出點(diǎn)P到直線l的距離的最大值d_max，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得25y²-32y-20=0，由弦長(zhǎng)公式求出|AB|，由此能求出△ABP面積的最大值．

解答 解：∵直線l：x+2y-2=0，交橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于A、B兩點(diǎn)，在橢圓C上找一點(diǎn)P，使△ABP面積最大，
∴設(shè)P（3cosθ，2sinθ），
點(diǎn)P到直線l的距離：d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ+α）-2|}{\sqrt{5}}$，
∴d_max=$\frac{|-5-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得25y²-32y-20=0，
△=（-32）²-4×25×（-20）=3024＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{32}{25}$，y₁y₂=-$\frac{20}{25}$=-$\frac{4}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{[1+\frac{1}{（-\frac{1}{2}）^{2}}]}[（\frac{32}{25}）^{2}-4×（-\frac{4}{5}）]$=$\frac{12\sqrt{105}}{25}$，
∴△ABP面積的最大值S_max=|AB|•d_max=$\frac{1}{2}$×$\frac{12\sqrt{105}}{25}×\frac{7\sqrt{5}}{5}$=$\frac{42\sqrt{21}}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．