Question

8．關(guān)于函數(shù)f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下說法：
①周期為2π；②最小值為-$\frac{5}{4}$；③在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增；④關(guān)于x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，
其中正確的是①②④（填上所有正確說法的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①由f（x+2π）=f（x）即可得證；
②換元法，設(shè)t=sinx+cosx，由三角函數(shù)知識(shí)可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得y=t²+t-1，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．
③由②利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
④證明f（$\frac{π}{2}$-x）=f（x），即可判斷正誤．

解答 解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數(shù)周期為2π，故①正確；
②設(shè)t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
∴sin2x=t²-1，
∴y=sin2x+sinx+cosx=t²-1+t=t²+t-1=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
由二次函數(shù)可知，當(dāng)t∈[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$]時(shí)，函數(shù)y=t²+t-1單調(diào)遞減，當(dāng)t∈[-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]時(shí)，函數(shù)y=t²+t-1單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值y_min=-$\frac{5}{4}$，故②正確；
③由②可知y=t²+t-1，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故③錯(cuò)誤；
④∵f（$\frac{π}{2}$-x）=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）]+sin（$\frac{π}{2}$-x）+cos（$\frac{π}{2}$-x）=sin（π-2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數(shù)關(guān)于x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)的對(duì)稱性，周期性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算的能力，屬于中檔題．