Question

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，點(diǎn)（1，

3

2

）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為1且過(guò)F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題設(shè)中的焦距求得c和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)（1，

3

2

）到兩焦點(diǎn)的距離求得a，進(jìn)而求得b，得到橢圓的方程．
（2）直線l：y=x+1，代入橢圓方程3x²+4（x+1）²=12，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出|x₁-x₂|，即可求弦MN的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意可得：橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
∴2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4．
∴a=2，又c=1，b²=4-1=3，
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）斜率為1且過(guò)F₁的直線l的方程為：y=x+1，
代入橢圓方程3x²+4（x+1）²=12，
整理可得7x²+8x-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|x₁-x₂|=

64 49 + 32 7

=

12 2

7

，
∴|AB|=

2

•

12 2

7

=

24

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力．