Question

若方程x²+y²+kx+2y+k²-11=0表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．如果過點(diǎn)（1，2）總可以作兩條直線和圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

（-4，4）    （-4，-2）∪（1，4）
分析：圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得 +（y+1）²=，故 ＞0，由此求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
根據(jù)過點(diǎn)（1，2）總可以作兩條直線和圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，可得點(diǎn)在圓的外部，故＞0，且+（2+1）²＞，解不等式求得k的取值范圍．
解答：方程x²+y²+kx+2y+k²-11=0 即 +（y+1）²=，由于它表示的曲線是圓，∴＞0，
解得-4＜k＜4．
圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0 即 +（y+1）²=．
如果過點(diǎn)（1，2）總可以作兩條直線和圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，則點(diǎn)（1，2）一定在圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0的外部，
∴＞0，且+（2+1）²＞． 解得-4＜k＜-2，或1＜k＜4．
故答案為：（-4，4），（-4，-2）∪（1，4）．
點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．