設(shè)AB是單位圓O的直徑,N是圓上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N的切線與過點(diǎn)A、B的切線分別交于D、C兩點(diǎn).四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點(diǎn)為G,求G的軌跡.
分析:要求G的軌跡,需建立直角坐標(biāo)系,故以圓心O為原點(diǎn),直徑AB為x軸建立直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),單位圓的方程為x2+y2=1,再設(shè)出N(cosθ,sinθ),從而得到DC的方程,從而有C、D的坐標(biāo)與直線AC、BD的方程,繼而可求得G的軌跡.
解答:解:以圓心O為原點(diǎn),直徑AB為x軸建立直角坐標(biāo)系,
則A(-1,0),B(1,0),單位圓的方程為x2+y2=1,
設(shè)N的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ),則切線DC的方程為:xcosθ+ysinθ=1,
由此可得C(1,
1-cosθ
sinθ
),D(-1,
1+cosθ
sinθ
),
AC的方程為y=
1-cosθ
2sinθ
(x+1),
BD的方程為y=-
1+cosθ
2sinθ
(x-1),
將兩式相乘得:y2=-
1-cos2θ
4sin2θ
(x2-1),
即x2+4y2=1
當(dāng)點(diǎn)N恰為A或B時(shí),四邊形ABCD變?yōu)榫段AB,這不符合題意,所以軌跡不能包括A、B兩點(diǎn),所以G的軌跡方程為x2+4y2=1,(-1<x<1).
點(diǎn)評:本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用,關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求得直線DC、AC、BD的方程,消掉參數(shù)即可,易錯(cuò)點(diǎn)在于G的軌跡方程為x2+4y2=1,(-1<x<1),不是整個(gè)橢圓,屬于難題.
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如圖,AB為平面直角坐標(biāo)系xOy中單位圓O的直徑,點(diǎn)D在第二象限內(nèi)的圓弧上運(yùn)動(dòng),CD與圓O相切,切點(diǎn)為D,且CD=AB.設(shè)∠DAB=θ,問當(dāng)θ取何值時(shí),四邊形ABCD的面積最大?并求出這個(gè)最大值.

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