Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x

，a≠0．
（1）若a=1，用定義證明f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）判斷并證明f（x）在其定義域上的單調(diào)性，并求f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用單調(diào)性定義證明，注意作差、變形，確定符號等；
（2）可運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，注意討論，再由單調(diào)性討論即可得到f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值．

解答： （1）證明：由于f（x）=

x+1

x

即有f（x）=

x

+

1

x

，
令m＞n≥1，則f（m）-f（n）=

m

+

1

m

-（

n

+

1

n

）
=（

m

-

n

）（1-

1

mn

），
由于m＞n≥1，則有

m

＞

n

，

mn

＞1，0，＜

1

mn

＜1，1-

1

mn

＞0，
則f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
則f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）解：函數(shù)f（x）=

x+a

x

，a≠0即為f（x）=

x

+

a

x

，
f′（x）=

1

2

1

x

-

a

2

•

1

x x

=

x-a

2x x

，
當(dāng)a＜0時，由于x＞0，f′（x）＞0，f（x）在x＞0上遞增；
當(dāng)a＞0，①x＞a時，f′（x）＞0，f（x）在x＞a上遞增；
②0＜x＜a時，f′（x）＞0，f（x）在0＜x＜a上遞減．
若a＜0時，則f（x）在區(qū)間[1，4]上遞增，f（1）最小，且為1+a；
若a＞4，則f（x）在區(qū)間[1，4]上遞減，則f（4）最小，且為2+

a

2

；
若1≤a＜4，則x=a為極小值點，也為最小值點，則f（a）最小，且為2

a

；
若a＜1，則f（x）在區(qū)間[1，4]上遞增，f（1）最小，且為1+a．
綜上，a＜0或a＜1時，f（x）的最小值為1+a；
a＞4時，f（x）的最小值為2+

a

2

；
1≤a＜4時，f（x）最小為2

a

．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．