已知動圓C經(jīng)過點F(0,1),并且與直線y=-1相切,若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點,則圓C的面積( )
A.有最大值為π
B.有最小值為π
C.有最大值為4π
D.有最小值為4π
【答案】分析:因為直線3x-4y+20=0與圓C有公共點,則直線與圓相切或相交,而點F(0,1)在直線3x-4y+20=0的下方,所以直線3x-4y+20=0與圓相切時圓最小,再求得此時的半徑,從而求得面積.
另外,本題還可根據(jù)由于圓經(jīng)過點F(0,1)且與直線y=-1相切,所以圓心C到點F與到直線y=-1的距離相等,由拋物線的定義知點C的軌跡方程為x2=4y,根據(jù)點、直線間的距離公式列出方程求r的最值來求解本題.
解答:解法一:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2
則根據(jù)題意:
解得:r=2
故最小的圓的面積是4π
解法二:由拋物線的定義知點C的軌跡方程為x2=4y,設(shè)C點坐標(biāo)為(x,),
∵⊙C過點F,∴半徑r=|CF|==,
直線3x-4y+20=0圓C有公共點,即轉(zhuǎn)化為點(x,)到直線3x-4y+20=0的距離d=
解得x≥或x≤-2,從而得圓C的半徑r=+1≥2,故圓的面積有最小值4π.
點評:本題主要考查點與圓、線與圓的位置關(guān)系在求圓的方程中的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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已知動圓C經(jīng)過點F(0,1),并且與直線y=-1相切,若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點,則圓C的面積( 。
A、有最大值為πB、有最小值為πC、有最大值為4πD、有最小值為4π

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已知動圓C經(jīng)過點F(0,1),并且與直線y=-1相切,若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點,則圓C的面積( )
A.有最大值為π
B.有最小值為π
C.有最大值為4π
D.有最小值為4π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:北京期末題 題型:單選題

已知動圓C經(jīng)過點F(0,1)并且與直線y=-l相切,若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點,則圓C的面積
[     ]
A、有最大值為π
B、有最小值為π
C、有最大值為4π
D、有最小值為4π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:專項題 題型:單選題

已知動圓C經(jīng)過點F(0,1)并且與直線y=-1相切,若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點,則圓C的面積
[     ]
A.有最大值為π
B.有最小值為π
C.有最大值為4π
D.有最小值為4π

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